An Optimal Consumption Problem in an Incomplete Market

Abstract

In this paper, the problem of finding the optimal consumption rate is studied. In this problem, the driving process of the controlled (wealth) process is assumed to be Levy. The method adopted in this paper, to find the optimal consumption rate, is the Maximum principle combined with the celebrated Clark-Ocone theorem, which needs the existence Malliavin derivatives and their extension in L^2 spaces. المستخلص: في هذه الورقة دُرست مسألة ايجاد معدل الاستهلاك الأمثل. اعتُبرت، في هذه الورقة، أن العملية العشوائية التي تقود العملية المراد التحكم بها- و التي تمثل ثروة مستثمر ما- هي عملية ليفي. استُخدمت لحل هذه المسألة- من طرق التحكم العشوائي- مبدأ الحد الأعلى مع مساعدة من مبرهنة كلارك-أوكون المعروفة. استخدام مبرهنة كلارك-أوكون يتطلب وجود المشتقات العشوائية أو ما يعرف بمشتقات ماليافين وتمديدها لفضاءات L^2 .