Differntial Equations on Manifolds

Abstract

A manifold is a topological space where any neighborhood of a point looks like an open set in a Euclidean space . Thus a diffeomorphism yields an equivalence relation such that two manifolds are not only topologically equivalent but also have equivalent differentiable structures . In this research we utilized Lie-group in solving differential equation The Lie-algebra will be determined by the tangent space T(G,e) at e and the action of G determines the values of the vector fields at any other point in G. One of the most appealing applications of Lie-group theory is to the problem of integrating ordinary differential equations, Lie's fundamental observation was that knowledge of a sufficiently . Large group of symmetry of the system of ordinary differential equation allows one to integrate the system by quadratures and thereby deduce the general solution. This approach unifies and significatly extends the various special methods introduced for integration of certain types of first order equation such as homogeneous , separable ,exact and so similar results hold for system of ordinary differential equation . Symmetry group can also be used to aid in the solution of higher order ordinary differential equation .

تبحث هذه الدراسة في متعددة الجوانب والتي تعرف بأنها الفضاءات التبولولجيية التي تشبه فيها جوار أي نقطة مجاورة مجموعة مفتوحة في الفضاء الإقليدي . لذا فإن الأشكال الثنائية تعطي علاقة متساوية بحيث تكون ثنائية الجوانب متساوية تبولوجياً ولها تراكيب يمكن تفاضلها .تبحث هذه الدراسة في إستخدام زمـر (لي ) . تستخدم زمـر (لي) في حل المعادلات التفاضلية حيث تحدد (لي) جبرياً بالفضاء المماس والذي يعطي بالعلاقة T(G,e) حيث يحدد عمل G قيم مجال المتجهات عند أي نقطة بالنسبة لـ G . واحدة من التطبيقات المهمة لنظرية زمـر (لي) هي حل مسائل معادلات التكامل التفاضلي الاعتيادية حيث نجد أن واحدة من الملاحظات الأساسية لنظرية زمـر (لي) أن معرفة مجموعة كبيرة بما فيه الكفاية لمتناظرات نظام المعادلات التفاضلية الاعتيادية تسمح بحساب تكامل النظام بواسطة التربيع وبالتالي يمكن إيجاد الحل العام . هذه الطريقة تمتاز بأنها توحد وتوسع بصورة هامة المجالات الخاصة المتعددة التي تستخدم لتكامل بعض أنواع معادلات الدرجة الأولي مثل المتجانسة ، المنفصلة ، المحددة … الخ . ويمكن التوصل لنفس النتائج بالنسبة لمعادلات التفاضل الاعتيادية أيضاً حيث يمكن استخدام الزّمر المتناظرة للمساعدة في حل معادلات التفاضل الاعتيادية من الدرجة العليا.