The Geometrical and Topological Treatment of Elliptic Operators

Abstract

Abstract

In this study, we formulate the solutions of the

differential equations of mathematical physics as

.cross sections of certain fiber bundles

We used Atiyah-Singer index theorem to

describe the analytical properties of these

equations, in particular elliptic equations, by the

geometrical and cohomological properties of the

fiber bundle. In fact the index of the differential

equations (considered operators on the sections

of fiber bundle ) is given by the difference

between the kernel and cokernel of the

differential operator. The index itself gives the

dimension of the solution. By Atiyah-Singer index

theorem, the index of the operator is just the

integral over the sphere bundle of the Chern

characteristic number with respect to the Todd

.class

الخلةصة

فففي هففذه الدراسففة، نصففوغ حلففول المففؤثرات

التفاضلية للرياضيات الفيزيائية كمقطفع عرضفي للحفزم

الليفية .

اسفتعملنا مبرهنفة دليفل عطيفة- سفنجر لوصفف

الخواص التحليلية لهفذه المفؤثرات ، كمفؤثرات إهليليجيفة

بشفكل خفاص، بفالخواص الهندسفية والتماثليفة المصفاحبة

( الكوهومولجيففة ) للحزمففة الليفيففة. فففي الحقيقففة دليففل

المؤثرات التفاضلية (كمؤثرات على مقاطع حزم الليففف)

معطففى بففالفرق بيففن النففواة والنففواة المصففاحبة للمففؤثر

التفاضلي. الدليل نفسه يعطي أبعفاد الحفل. ففي مبرهنفة

دليل عطية- سنجر, دليل المؤثر هو فقفط التكامفل علفى

حزمة مجال العدد المميز لشيرن فيما يتعلق بصف تود.