Stability Analysis and Hopf Bifurcation Control in Dynamical Systems ‫تحليل االستقرار والتحكم في تشعب‬ ‫هوف في األنظمة الديناميكية‬ Ordinary and Delay Differential Equations

Abstract

ABSTRACT

This thesis is concerned with stability analysis and Hopf bifurcation and its control in

ordinary differential and time-delay dynamical systems.. Particular attention of this thesis

is given to Hopf bifurcation in dynamical systems. Linear analysis is employed

to determine the critical conditions under which static as well as Hopf bifurcation may

occur. Center manifold theory is applied to obtain a set of ordinary differential equations

describing the center manifold of the system. Then, normal form theory is

employed to consider the stability of the system. The theory and methodology are applied

to study several practical ordeinary differential and time-delay systems.

First of all, the notion of dynamical systems and its components was discussed in

details. The geometrical point of view for dynamical systems was investigated via its phase

portraits and invariant manifolds.

Then, we focus on bifurcation of dynamical systems. Particularly, Hopf bifurcation in

both continuous and time-delay dynamical systems is studied. The concept of topological

normal form is discussed then the bifurcation and its characteristics in one and two

dimensions and the classical Hopf bifurcation theory then we finished this chapter with the

well-known Center manifold theorem.

After that, the dynamical systems in time-delay differential equations are

investigated, concentrating on its properties and classification.

Finally, the task of controlling the bifurcation for various aims is discussed via statefeedback

control method as a main approach in this thesis and other bifurcation control

methods like harmonic balance and normal forms. The research ended with papers had

been published by the researcher and expected fields of development and future

perspective of the subject.

VII

ملخص البحث

يستعزض انباحج في ىذا انبحج نظزيت تحهيم االستقزار نحهول األنظًت انذيناييكيت بصورة نوعيت دوٌ

ً انتعزض بانضزورة نكيفيت ايجاد ىذه انحهول سواء أكانت األنظًت خطيت أو غيز خطيت . بصفت

كًا يعنى انبحج أيضا

ً ) تشعّب ىوف ( وطزق انتحكى فيو في بعط أنواع ىذه

رئيسيت بنظزيت ) انتشعّب ( في األنظًت انذيناييكيت وخصوصا

األنظًت.

تى استخذاو يبادئ انتحهيم انخطي أليجاد انشزوط انتي يحذث عنذىا ) تشعّب ىوف( ، كًا تى تطبيك نظرٌة )المانٌفولد

المركزي( للحصول على المعادالت التفاضلٌة التً تصف هذا المانٌفولد.

فً مستهل البحث تمت مناقشة مفهوم النظام الدٌنامٌكً ومكوناته بالتفصٌل، كما تم استعراض حلول هذا النظام

بصورة نوعٌة من منظور هندسً بواسطة منحنٌات دلٌلة تمثل بعض حلول النظام وعن طرٌق المانٌفولدات

الالمتغٌرة، ثم استعرض الباحث النظام الخطً للمعادالت التفاضلٌة عن طرٌق القٌم والمتجهات الذاتٌة لهذا النظام.

فً الفصل الثانً تم استعراض نظرٌة ) التشعّب ( فً األنظمة الدٌنامٌكٌة. وتم التركٌز على أنظمة المعادالت

التفاضلٌة العادٌة و)المعوّ قة(.

فً الفصل الثالث تمت مناقشة أنظمة المعادالت التفاضلٌة )المعوّ قة( بخصائصها وتصنٌفاتها المختلفة. كما تم

استعراض المعادالت الممٌزة لهذه األنظمة وقٌمها الذاتٌة.

الفصل الرابع تم تخصٌصه لنظرٌة التحكم فً )تشعّب هوف( وكٌفٌة تسرٌعه أو ابطائه أو تغٌٌر قٌم البارامٌتر الحرجة

التشعب وذلك للوصول ألهداف محددة تم تحدٌدها مسبقاً التً ٌحدث عندها هذا ، ٌتم ذلك بصورة رئٌسٌة فً هذه

األطروحة عن طرٌق مبدأ التحكم المعتمد على حالة النظام فً أي زمن )ت( ، وعن طرٌق مبادئ وأسالٌب أخرى

مثل مبدأ االتزان التوافقً ومبدأ الصٌغ الطبٌعٌة.

اختتم البحث فً الفصل الخامس باستعراض مساهمات الباحث فً موضوع البحث وذلك باستعراض األوراق العلمٌة

التً قام الباحث بنشرها فً مجالت علمٌة محكمة.

ثم بعد ذلك تم استعراض أهم التطبٌقات لمبدأ التحكم فً ) التشعّب ( وفً النهاٌة تم صٌاغة مالحظات وتعقٌبات نهائٌة

تتعلق بمجمل مادة البحث ثم توصٌف مختصر ألهم التطورات الحادثة فً مادة البحث وكٌفٌة توسٌع واثراء هذه المادة

مستقبالً مبادئ هذه األطروحة. للحصول على نتائج متقدمة تعتمد على